从Quantamagazine集合中选择：Leila Sloman Machine汇编全部始于股份。在1980年代后期，在洛桑的一次会议上，两个数学Noga Alon和Peter Sarnak进行了友好的辩论。他们当时都研究了一组节点和侧面，一个图。他们希望更好地理解一种看似矛盾的图形，称为“扩展图”，这有点小边缘，但仍然相互连接。辩论的重点是最佳扩展图：尽可能牢固的连接扩展图。萨尔纳克（Sarnak）认为，图是很少见的，他和两个合作迅速发表了一篇论文，该论文使用理论编号中的复杂思想来提出示例，并指出任何其他结构都同样难以实现。另一方面，阿隆希望随机图通常显示出各种最佳财产，他认为非常好的扩展图将很常见。如果您从大量中随机选择图形有可能，几乎可以保证它是最佳的扩展图。彼得·萨尔纳克（Peter Sarnak）向左，诺加（Noga）在右侧挥手。今天，萨尔纳克（Sarnak）和波浪是普林斯顿（Princeton）的同事。数十年来，赌注的细节已经变得模糊。阿隆回忆说：“当时并不太严重，我们对股份内容有不同的看法。”尽管如此，传说仍在移动 - 温和地提醒了正确的数学。最近，三个数学终于通过探索物理学中的主要现象并将其推到极限来统治了赌注。他们俩都错了。纸张标题：Ramanujan Property and Edge University of随机常规图ARXIV地址：https：//arxiv.org/pdf/2412.20263扩大了限制，因为数学在1960年开始研究图形，它们用于大脑建模，统计评估和构建错误。由于扩展图中的边数非常小，因此效率很高。同时，由于扩展图高度连接，我仍然可以防止潜在的网络失败。萨尔纳克说，矛盾是“产生符合符合直觉且非常有用的扩展图”。因此，数学希望更好地理解它们。 “减少边缘数”和“增加图连接性”之间的矛盾是多远？张力最高的广泛扩展图有多普遍？研究人员需要精确识别扩展的图表。有很多方法可以做到这一点，其中之一是：要将扩展图划分为两个单独的部分，您需要删除多个边缘。另一种方法是：如果您要转到图形的侧面并随机选择方向，则可以快速探索整个图。下图是扩展图的示例。每个节点只有三个侧面，但已连接。如果您随机步行到图的边缘，则不会很长时间探索整个图表。以下Ing图是一个示例，而不是扩展器，连接较差，并且从一个节点到另一个节点的某些路径。 1984年，数学JózefDodziuk证实，所有这些扩展步骤均由IS量链接 - 至少某些类型的图。在SO称为“常规图”中，每个节点具有相同数量的边缘，从而确保整个图的边缘数相对较小。因此，为了使其成为扩展图，您只需要证明它已连接。这是Dodziuk编号（卷）。要计算此数字，您首先需要构建一个称为相邻矩阵的1和0的范围。此相邻矩阵指示图中的哪些节点是由边缘连接的，哪些节点不连接边缘。您可以使用矩阵来计算一系列称为特征值的数字，这些数字可以提供有关原始图的有用信息。例如，最大的特征值提供了连接到图中每个节点的边数。乔兹夫·多兹（JózefDodz）Foundiuk，第二大特征值可以告诉您图形连接。数字越小，图形连接得越好 - 使其成为更好的扩展图。乔兹夫·多齐克（JózefDodziuk）发现后的片刻之后，阿隆（Alon）和另一个数学拉维·波帕纳（Ravi Boppana）证明，如果常规图中的每个节点都具有D边缘，那么第二个特征值就不会小于。第二个常规图在“波巴纳边界”附近带有特征值是一个膨胀的图。与其他具有相同数量边缘数量的常规图相比，它具有良好的连接。但是，如果第二个特征值实际上到达边框，则该图是可以考虑的最佳扩展图。对于包括Sarnak在内的一些数学，“波巴纳边境”是一个奇妙的挑战。他们想要马拉曼：我们可以构建达到此限制的图吗？萨尔纳克（Sarnak），亚历山大·卢博兹基（Alexander Lubotzky）和拉尔夫·菲利普斯（Ralph Phillips）在1988年发表的具有里程碑意义的论文中随机赌博找到了一种方法。他们使用了非常良好的技术成功Achi由印度数学天才Srinivasa Ramanujan在理论数字领域中示出来，以产生满足“波巴纳的边界”的常规图。因此，他们称之为最佳扩展的“ Ramanujan图”图。 （同年，Grigorii Margulis使用其他同样出色的方法来提出其他示例。）纸质地址：https：//link.springer.com/article/10.1007/bf02126799 Xinze Xinze Xinze在Intuit上“在Intuit中”在Intuit上，您可以很难开发出一个很难实现Ramanujan的范围。西部普林斯顿。 “但是在数学中，难以构建的东西通常令人惊讶地普遍。”这是人们思考的方式的普遍现象：“我真的不记得那个。”几十年后，在2008年，对大量常规图表的综述及其特征值表明，答案一目了然。有些图遵循Ramanujan的定理，另一些图则没有。它使我更难知道确切比率。在验证适用于所有图表的属性时，数学具有丰富的工具箱（或无适用）。但是，要证明有些图遵循Ramanujan的定理，而其他图形则不需要准确性，并且图理论家不确定这种准确性来自何处。最终发现，在数学的完全不同的领域中，名为Horng-Tzer Yau的研究人员解决了这个问题。在研究与随机图相关的矩阵的花费十多年之后，Yao Hongze解决了有关其行为的主要问题。姚明Ze的“疯狂”想法是，当图形理论的研究人员仍在试图了解2008年该研究的重要性时，哈佛大学教授Yao Hongze多年来一直沉迷于特征值问题。他所研究的特征值来自更广泛的矩阵，其元素是通过随机手段形成的 - 例如倾倒硬币或执行其他随机过程。Yao Hongze希望矩阵特征值如何使用各种随机过程更改。这个问题一直在追溯到1955年，当时物理学家Eugene Wigner使用随机基质来模仿沉重原子（例如铀）中原子核的态度。他希望通过研究这些矩阵的特征值来了解系统所具有的能量。很快，Wigner注意到了一个奇怪的现象：各种随机矩阵模型的特征值似乎都显示出相同的分布模式。对于任何随机矩阵，每个特征值本身也是随机的 - 当您选择一个间隔号时，某个特征值属于此间隔内的可能性可以计算出来。但是神秘的事情是，这种可能性的分布似乎与矩阵的特定结构无关：如果随机矩阵的元素仅组成1和-1，或者可以是任何实际数字，那么特征值几乎落在某个差距上的后代不变。 Eugene Wignerwigner注意到他正在研究的各种随机系统的意外一般行为。如今，数学家进一步扩大了这种行为的应用范围。有时，Wigner认为任何随机矩阵的特征值应遵循相同的可能性分布。该预测在普遍的推测中被称为。杨先生说，这个想法太疯狂了，这导致许多人不相信他说的是真的。但是随着时间的流逝，他和其他数学继续证明，这种猜测是许多不同类型的随机矩阵都是如此。一遍又一遍地，Wigher的理论得到了正确的证明。 Yao Hongze开始考虑他可以将Hayou推到多远。他想找到可能破坏普通矩阵的问题。因此，在2013年，萨尔纳克（Sarnak）建议让他研究与随机常规图有关的Matrice的特征值时，他接受了这一挑战。如果Yao Hongze可以证明这些eigenva拉斯还符合一般的想象力-haaka，他可以理解他们的可能性分布。接下来，他可以使用这些信息来计算第二个特征值到达波poppana边框的可能性。换句话说，他可以在Sarnak和Wave之间提供明确的赌博答案，这是Ramanujian阴谋的常规概述。所以他开始这样做。许多类型的随机Matrice即将取得成功，包括灵感智慧来暗示大学，拥有一些良好的所有权，使人们可以直接计算其特征值分布。但是，相邻矩阵不具备这些特性。 2015年左右，Yao Hongze与他的研究生Huang Jiaoyang提出了一项计划（在2010年至2010年间，Tsinghua大学跨信息研究所的计算机科学实验课程学习）和另外两项合作。首先，他们将使用随机过程进行一些调整相邻矩阵中的元素，产生了新的随机矩阵，并具有所需的良好品质。接下来，他们将计算此新矩阵的特征值分布，并证明它对大学意识满意。最后，他们还需要证明这些调整很小，以避免原始相邻矩阵的特征值 - 这意味着原始的相邻矩阵也对一般的猜测感到满意。 Huang Jaoyang在可能性领域的研究使他参与了许多困难的数学问题，物理和计算机科学。 2020年，在黄博士之后，他和他的合作终于可以使用这种方法来扩展普遍的想象 - 在一定尺寸的常规图中。只要该图具有足够的边缘，第二个特征值将出现几十年前。它是正在研究的分布类型。但是要回答海浪和萨尔纳克之间的赌注，仅仅证明了一部分常规g是不够的RAPHS - 他们需要证明所有常规图表都是正确的。在2022年之前，一位名叫西奥·麦肯齐（Theo McKenzie）的博士后，来到哈佛大学，深入了解黄色岛（Huang Jiaoyang），Yao Hongze使用的工具和技术，以及他与2020年证明的合作。他有许多需要“化妆”的内容。杨先生说：“我们已经研究了这个问题已经很长时间了。”但是麦肯齐无所畏惧，她不怕克服这些困难的问题，加利福尼亚大学的数学家尼克希尔·斯里瓦斯塔瓦（Nikhil Srivastava），伯克利分校，麦肯齐（McKenzie）的前博士主管。在Huang Jiaoyang和Yao Hongze的方法中花了几个月的时间之后，McKenzie终于准备好加入新的观点和力量。 Yao Hongze说：“您希望有人检查很多细节并提出不同的问题。” “有时候，您只需要很多人。”一开始，Tatlong数学只会获得一些结果。他们不准确c在验证策略中完成第二步 - 估计精致的Matrice的特征值分布，因此不足以证明所有常规图都享受了投机性的一般。但是他们已经证明，这些特征值仍在享受一些主要的财产，这些财产强烈表明这种猜测可能会解决。麦肯齐（McKenzie）是最后一位加入这位数学家团队的成员 - 他们解决了关于所谓的Ramanujantu的辩论，这个问题已有数十年来一直没有解决。萨尔纳克说：“我知道他们正处于解决这个问题的边缘。”事实证明，在另一项研究中，Huang Jiaoyang实际上正在尝试最终需要的主要元素。封闭的环路Jiaoyang Ay单独研究了一组名为“循环方程式”的数学公式，该公式描述了在随机矩阵模型中特征值的行为。他意识到，如果他，麦肯齐（McKenzie）和姚·洪（Yao Hongze）可以证明他们的矩阵对这些方程式满意最近，可以填写推理第二步中缺少的信息。他们做了最后。经过几个月的彻底计算，他们完成了证明。所有常规图均符合通用猜想Wigner：随机选择一个常规图，其特征值将显示出众所周知的分布形式。这也意味着这三个数学现在已经意识到第二特征值的特定分布。他们甚至可以计算有多少比例具有第二个特征值到达波型 - 即边框 - 即多少比例具有随机的常规图完美扩展的图形。三十多年后，萨尔纳克（Sarnak）和波浪终于得到了他们选择的答案。该比率约为69％，这意味着这些图是不寻常或罕见的。第一个了解它的人是萨尔纳克。 Huang Jiaoyang说：“他告诉我们，这是他收到的最好的圣诞节礼物。”她笑着说：“所以我们认为这是麦芽汁这结果还表明，普遍的猜测比研究人员的原始期望更广泛，更强大。数学期望继续打破这种猜测的适当界限，并使用这些新程序来解决相关问题。与此同时，他们也可以放松一下，并且在朗格尼（Ramanujiantu）的神秘范围内，他们仍然在神秘的范围内享受着众所周知的，我们还不是在我的神秘范围。是的，因为可能性超过一半。